1. ŻYROSKOPOWE MOMENTY SIŁ

(efekt żyroskopowy w ruchu obrotowym). Obracające się ciało o dostatecznie dużym momencie pędu K, na które działamy parą sił F, wytwarzając moment siły M. Zgodnie z II zasadą dynamiki w małym odstępie czasu dt następuje przyrost delta dK. Ponieważ przyrost dK jest mały i prostopadły względem K, to moment pędu po czasie dt równy K+dK jest praktycznie co do wielkości taki sam jak K tylko obrócony o kąt dj=dK/K. Oznacza to, że oś obrotu ciała wykonała obrót o kąt dj w płaszczyźnie xy, chociaż działający moment siły dąży do obrotu osi ciała w płaszczyźnie yz. Prędkość kątowa W tego obrotu nazwanego precesją wynosi:
W = dj/dt=dK/(K*dt)=M*dt/(K*dt)=M/K. Ostatecznie: M=WxK. Moment sił M równoważy moment sił reakcji bąka występujący przy precesji. Ten moment siły (-M) nazywa się momentem sił żyroskopowych. Przykład: bąk dziecinny, stabilizacja jazdy na rowerze, stabilizatory na statkach, żyrokompasy itp.

2. OPIS RUCHU DWÓCH ODDZIAŁYWUJĄCYCH CIAŁ

Dwa ciała o masach M i m oddziaływują na siebie siłą zależną od ich względnego położenia r. Na masę m działa siła -F(r). Różniczkowe równania ruchu mają postać: m*d²r_m/dt²=F(r); M*d²r_M/dt²=-F(r). Otrzymujemy układ równań wzajemnie uwikłanych, gdyż: r=r_m-r_M; Położenie środka masy r₀=(M*r_M+m*r_m)/(M+m). Różniczkując równanie otrzymujemy: (M+m)*v₀=M*v_M+m*v_m; v₀-prędkość środka masy, v_M,v_m-prędkości ciał. Masa całego układu razy v₀ jest pędem całego układu. Pęd ten jest stały. Położenia obu mas względem środka masy są określone wzorami: r_m'=r_m-r₀=r*m/m; r_M'=r_M-r₀=-r*m/M;m=M*m/(M+m) jest masą zredukowaną układu. Suma pędów względem O' jest równa zero. m*d²r_m'/dt²=m*d²r/dt²; M*d²r_M/dt²=m*d²r/dt². Możemy więc zapisać, że: m*d²r/dt²=F(r), przy czym położenie r masy m względem O' odpowiada położeniu masy m względem M.

3. ODDZIAŁYWANIA POTENCJALNE

Podstawowe oddziaływania mają własności: 1. Siła oddziaływania F między dwoma ciałami jest funkcją ich wzajemnej odległości r, F(r)=0 gdy r=¥; 2. Praca sił po drodze zamkniętej wynosi 0. Własność ta wynika z tego, że praca DL wykonana przy przesuwaniu ciała od dowolnego punktu 1 do dowolnego punktu 2 nie zależy od drogi przesuwania lecz od położenia tych punktów. Praca wykonana przez siłę oddziaływania jest wykonana kosztem energii oddziaływania. Wynika stąd wniosek, że każdemu wzajemnemu położeniu ciał odpowiada jednoznacznie określona energia oddziaływania U. Takiego rodzaju energię nazywa się potencjalną, a samo oddziaływanie potencjalnym lub zachowawczym.

4. ZASADA WZGLĘDNOŚCI GALILEUSZA

(ZWG) sform. w 1632 r.: we wszystkich ukł. odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednost. nazwanych układami inercjalnymi zjawiska przyrodnicze przebiegają tak samo. Ponieważ zjawiska fiz. opisuje fizyka za pomocą określonych praw, muszą one mieć taką postać, aby przy przejściu z jednego inerc. ukł. odnies. do drugiego miały taką samą postać. Własność tę nazywamy zasadą niezmienniczości praw fizyki względem dowolnego układu inerc. odniesienia (np. z obserwacji jakichkolwiek zjawisk i dośw. prowadzonych w kajucie nie można wysnuć wniosku co do spoczynku lub ruchu jednost. statku). Przy konkretnym przekształceniu określanego prawa fizycznego z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego nieodzowne jest posługiwanie się grupą zależności między czasem i współrzędnymi w obu układach, zwanych transformacją. Rozważam dwa inercjalne prostokątne układy odniesienia x,y,z i x',y',z' takie, że układ primowany porusza się w kierunku dodatnich x względem układu nieprimowanego i odpowiednie osie są do siebie równoległe. (*RYSUNEK*) Założenia: czas zaczęto mierzyć w obu układach od momentu, gdy początki układów O i O' mijały się i czasy oraz odległości mierzy się w obu układach identycznymi miarami. Wtedy dowolne zdarzenie zanotowane przez obserwatora w układzie O jako zaistniałe w momencie czasu t i miejscu x,y,z zostanie zanotowane przez obserwatora w układzie O' jako zaistniałe w momencie czasu i we współrzędnych: t'=t; x'=x-vt; y'=y; z'=z. Jest to tzw. transformacja Galileusza (przykład: niezmienniczość względem transformacji Galileusza prawa zachowania pędu 2 zderzających się ciał o masach m₁ i m₂, poruszających się wzdłuż osi x. W układzie O mamy m₁*v_1p+m₂*v_2p=m₁*v_1k+m₂*v_2k, gdzie p i k-stany przed i po zderzeniu, gdzie v – prędkość w kierunku osi x. Ponieważ przy przejściu do układu primowanego występi z obu stron równania dodatkowa prędkość układu zachodzi równoważnośc prawa zachowania pędu w układach O i O'). Niezmiennicze względem transformacji Galileusza są też niektóre wielkości dotyczące zjawisk lub zdarzeń np. siła, temperatura, zmiana energii itp. a także odstęp czasu Dt między dwoma zdarzeniami oraz kwadrat odległości przestrzennej: DR²=(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²=DR’²

5. POLA POTENCJALNE
Założenia: jedno z dwóch ciał oddziaływujących jest nieruchome w początku układu współrzędnych, rozpatrujemy ciało drugie. (*RYSUNEK*) Jeżeli przesunie się ono z punktu 1 o mały odcinek dl do położenia 2, to siła oddziaływania (pole sił) wykona pracę: dL=F*dl=F_l*dl=U(1)-U(2)=-dU, przy czym dU to różnica energii potencjalnej oddziaływania między położeniami ciała w punktach 2 i 1, a F_l to składowa siła oddziaływania w kierunku przesunięcia dl. Więc związek między F_l i energią oddziaływania: Fl=-dU/dl. Jeżeli więc znamy energię potencjalną oddziaływań U(r) w każdym punkcie pola to za pomocą wzorów możemy określić siłę. Jeżeli energia potencjalna oddziaływania zmierza do zera, gdy ciała oddalają się od siebie do nieskończoności, można określić związek między wartością energii w dowolnym punkcie pola i siłą oddziaływania. Przy przesuwaniu ciała od położenia R do nieskończoności siły pola wykonują pracę równą wartości energii potencjalnej w miejscu R, czyli: ò {R,¥} F_r(r)*dr=U(R)-U(¥)=U(R). Ponieważ wektor siły można zapisać jako sumę składowych w postaci: F=F_x*i+F_y*j+F_z*k mamy: F=((dU/dx)*i+(dU/dy)*j+(dU/dz)*k)=-grad U=-ÑU. A działa w iloczynie skalarnym Ñ*A= div A (diwergencja) lub wektorowym Ñ*A=rot A (rotacja). Gęstość linii sił jest miarą wartości sił w danym miejscu. Linie sił są takimi siłami, że wektor siły w każdym punkcie pola jest styczny do linii siły przechodzącej przez dany punkt, natomiast gęstość linii jest proporcjonalna do wartości siły. Powierzchnie prostopadłe do linii sił są powierzchniami ekwipotencjalnymi (tzn. stałego potencjału), ponieważ przy przesuwaniu ciał w kierunku prostopadłym do siły nie jest wykonywana praca przez siły oddziaływań, a więc nie zmienia się energia potencjalna oddziaływania. Wzrost siły jest więc w kierunku malenia energii potencjalnej. Najważniejsze oddziaływania potencjalne to grawitacyjne i kulombowskie oddziaływania od mas (ładunków) punktowych lub kulistych. Siła oddziaływania grawitacyjnego F=-(G*M*m/r²)*r/r. r/r określa kierunek działania siły (radialny). Znak (-) uwzględnia energię oddziaływania grawitacyjnego U(r)=-G*M*m/r. Siła oddziaływania elektrostatycznego F=Q*q/(4*P*e₀*r²)*r/r. Energia oddziaływania elektrostatycznego U(r)=Q*q/(4*P*e₀*r). Oddziaływania między cząsteczkami w gazach i cieczach, zwane siłami Van der Waalsa opisujemy tzw. potencjałem 6-12: U(r)=4*e *[(s/r)¹²-(s/r)⁶]. Składnik przyciągający -( s/r)⁶ przeważający na dużych odległościach. Składnik odpychający (s/r)¹² przeważający na małych odległościach.Oddziaływania między atomami w cząsteczkach i kryształach opisujemy często tzw. potencjałem Morse'a: U(r)=D*[1-exp(-b*(r-a))]². Parametr D jest energią dysocjacji lub wiązania.

6. TRANSFORMACJA LORENTZA-EINSTEINA

g=sqrt(1-(v/c)²);  t'=(t-v*x/c²)/g; x'=(x-v*t)/g; y'=y; z'=z; odwrotna: t=(t'+v*x'/c²)/ g; x=(x'+v*t')/ g; y=y'; z=z'. Wnioski wynikające z transformacji L-E wykraczały poza pojęcia mechaniki klasycznej. W roku 1905 Albert Einstein sformułował szczególną teorię względności (STW). Głównym jej założeniem zasada względności Galileusza rozciągnięta na zjawisko ruchu promienia świetlnego w próżni: we wszystkich układach inercjalnych prędkość światła w próżni jest ta sama. Jeżeli dwaj obserwatorzy poruszający się względem siebie obserwują ruch tego samego promienia i obaj stwierdzają, że biegnie on z tą samą prędkością, to kinematyka opisująca związki między czasem i przestrzenią w ruchu ciał musi być inna od poznanej w ramach mechaniki klasycznej.

7. CZASOPRZESTRZENNA ODLEGŁOŚĆ ZDARZEŃ

Przykład: obserwator znajdujący się w środku jadącego wagonu (ukł. O') zapala latarkę i obserwuje bieg promienia w kierunku jazdy i przeciwnym. Stwierdzi on, że promienie równocześnie dotrą do ścian wagonu. Wg obserwatora w układzie O promienie poruszają się z jednakową prędkością w obie strony, ale przednia ściana ucieka, podczas gdy tylna porusza się naprzeciw promieniowi. Dlatego do tylnej ściany promień dotrze wcześniej. Zdarzenia jednoczesne dla jednego obserwatora nie są jednoczesne dla drugiego. Ponieważ pomiar czasy jest ściśle związany z pojęciem jednoczesności, wartości czasu danego zjawiska, mierzone przez dwu poruszających się względem siebie obserwatorów, są różne. A więc czas biegnie inaczej w różnych układach inercjalnych. Fakt ten i dalsze rozważania pozwalają zrozumieć kinematyczne zagadnienia STW. Niech obserwatorzy O i O' obserwują bieg promieni latarki zapalonej w momencie czasu t₁ w miejscu x₁,y₁,z₁ w O i odpowiednich t₁',x₁',y₁',z₁' według O'. W chwili czasu t₂ czoło fali jest powierzchnią kulistą, której dowolny punkt o współrzędnych x₂,y₂,z₂ spełnia równanie: (x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²=c²*(t₂-t₁)². To samo w O'. Tak więc odległość czasoprzestrzenna Ds dwu zdarzeń (wcześniej t₁,x₁,y₁,z₁ i później t₂,x₂,y₂,z₂) określa równanie: Ds²=c²*(t₂-t₁)²-[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²]. Zatem OCZ dotyczących ruchu promienia świetlnego jest we wszystkich układach inercjalnych taka sama, równa 0. Einstein postulował, że odległość czasoprzestrzenna  dwu zdarzeń jest pojęciem ważnym dla dowolnych zjawisk i jest ona wielkością niezmienniczą, tzn. Ds²= Ds’². Jest to drugie istotne założenie w podstawach STW. Wg transformacji Galileusza niezmiennicze są osobno odległości czasowe i przestrzenne, a wg STW dopiero ich kombinacja w formie odległości czasoprzestrzennej jest niezmiennicza.

8. WAŻNIEJSZE ZALEŻNOŚCI KINEMATYCZNE (wg STW)

Uwzględniając zasadę niezmienniczości OCZ i prędkości światła można wyprowadzić różne zależności kinematyczne. Można przede wszystkim otrzymać wzory na transformację L-E, a z niej wynikają dwa ważne efekty-relatywistyczne zmiany czasów i odległości. Efekt relatywistycznej zmiany czasów możemy rozważyć korzystając jedynie z zasady niezmienniczości OCZ. Obserwujemy dwa układy: primowany O' i nieprimowany O. Obserwator w układzie O’ obserwuje zjawisko na obiekcie spoczywającym względem niego w miejscu o współrzędnej x₁'. Obserwator w układzie O odnotuje (z zas. niezmienniczości OCZ !) Ds²=c²*t²-(x₂-x₁)². Współrzędne y,z można pominąć ponieważ nie ulegają one zmianie. Możemy też zauważyć, że (x₂-x₁)/(t₂-t₁)=v, gdzie v jest prędkością obiektu względem układu O. Ostatecznie otrzymujemy: t = t₀/g; t₀=t₂'-t₁'; t =t₂-t₁. Jest to efekt relatywistycznego wydłużenia czasu, t₀ jest czasem własnym zjawiska czyli czasem notowanym w układzie, względem którego obiekt pozostaje w spoczynku. W układzie, względem którego obiekt porusza się, notowany czas jest dłuższy. Relatywistyczną zmianę długości przedyskutuję na podstawie transformacji L-E. W układzie O' spoczywa obiekt którego długość jest równa l₀=x₂'-x₁'. obiekt ten porusza się względem nieprimowanego z prędkością v. Aby zmierzyć długość obiektu w tym układzie potrzebujemy dwóch obserwatorów, którzy w tym samym czasie odnotują współrzędne końca i początku obiektu: x₁'=(x₁-vt₁)/g; x₂`=(x₂-vt₂)/g; t₁=t₁; l₀=x₂'-x₁'; l=x₂-x₁; l=l₀*g. długość obiektu mierzoną w układzie, w którym obiekt spoczywa jest długością własną obiektu. Z innych zależności można otrzymać wzory na dodawanie prędkości: u_x=(u_x'+v)/(1+u’_x*v/c²); u_y=(u_y'/(1+u’_x*v/c²))* g; u_z jak u_y; x-wzdłużna, y,z-prostopadłe. Przy dodawaniu prędkości nie można otrzymać prędkości większej od c.

9. WAŻNIEJSZE ZALEŻNOŚCI DYNAMICZNE (wg STW)

Dalej obowiązują zasady: zachowania pędu i energii. p=m*v, m=m₀/g, m₀ – masa ciała w spoczynku. Masa ciała jest miarą całkowitej energii ciała E=m*c² . Energia kinetyczna to różnica między energią ciała w ruchu a spoczynku, więc E_k = (m-m₀)*c². Ważne wyrażenie – czterowektor energii i pędu E²-p²*c² niezmiennicze względem transformacji L-E. Siła F=dp/dt. Okazuje się, że jeżeli ciało jest w ruchu to przyspieszenie ciała nie jest równoległe do działającej nań siły z wyjątkiem przypadków: a) F^v  -  F = a*m₀/g;   b) F||v  -  F = a*m₀/g³ Dlatego mówi się nawet o masie poprzecznej i podłużnej ciała.

10. SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Rozpatrując ruch ciał w ukł. nieinercjalnych (tzn. poruszających się ruchem zmiennym) dochodzimy do wniosku, że możemy stosować zasady dynamiki Newtona dla ukł. inercjalnych pod warunkiem wprowadzenia dodatkowych sił tzw. sił bezwładności. <<RYSUNEK>> O_i - ukł. inercjalny O_n - ukł. nieinercjalny. Rozpatrując ruch ciała poruszającego się bez tarcia w ukł. O_n, na które nie działają siły zewnętrzne stwierdzamy, że według obserwatora w ukł. O_i ciało nie zmienia swego ruchu i przysp. ciała a_i=0, według obserwatora w O_n porusza się ono z przysp. a_n=-a_u. Ogólnie: w ukł. nieinercjalnym oprócz sił przyłożonych bezpośrednio do ciała o masie m działa na nie dodatkowa siła (siła bezwładności) określona równaniem F_b=-m*a_n Ukł. nieinercjalne poruszające się ruchem prostoliniowym nie wymagają głębszych wyjaśnień. <<RYSUNEK>>Rozważmy nieinercjalny ukł. O_n obracający się z prędkością kątową W względem ukł. inercjalnego O_i. Środki obu ukł. pokrywają się, a wektor prędkości kątowej obrotu jest zgodny z osią z_i. Niech będzie dany wektor r. Jeżeli szybkość zmian tego wektora w ukł. O_i oznaczymy przez (dr/dt)_i a w O_n (dr/dt)_n to związek między nimi jest następujący (dr/dt)_i=(dr/dt)_n+Wx r  (1)  Jeżeli r będzie wektorem położenia ciała to  (dr/dt)_i=v_i (prędkość ciała w O_i), a (dr/dt)_n=v_n (prędkość ciała w O_n) czyli  v_i=v_n+Wx r Stosując wzór (1) do wektora v_i mamy (dv_i/dt)_i=(dv_i/dt)_n+Wx v_r =(dv_n/dt)_n+W x v_n+W x (v_n+W x r) ale (dv_i/dt)_i=a_i i (dv_n/dt)_n=a_n czyli  a_i=a_n+2*Wx v_n+W x (W x r) gdzie a_i i a_n są przyspieszeniami ciała w O_i i O_n. Korzystając z zależności a_i=a_n+a_u możemy wyznaczyć przyspieszenie ukł. O_n  a_u=2*W x v+W x (W x r) Stąd wzór na siłę bezwładności w ukł. obracającym się F_b=-m*a_u=-(2m*W x v+m*W x (W x r)  Pierwszy składnik nazywany jest siłą Coriolisa, drugi siłą odśrodkową.

11. MASA BEZWŁADNA I GRAWITACJA

Wprowadzone przez Newtona w zasadach dynamiki pojęcie masy jest miarą bezwładności ciała. Newton odkrył również drugą własność ciał - wzajemne działanie na siebie siłami grawitacyjnymi. Przez analogię do odziaływań elektrycznych należałoby mówić o ładunkach grawitacyjnych ciał. Chociaż doświadczenie wskazuje, że miarą ładunku grawitacyjnego ciała może być jego masa to bezwładność ciała i zjawisko grawitacji są zupełnie różnymi własnościami. W związku z tym wyróżniono pojęcie masy bezwładnej i masy grawitacyjnej oraz zaczęto podejmować próby wyznaczenia ewentualnej różnicy lub tożsamości tych wielkości (poprzez wykrycie różnic w ruchu ciał wykonanych z różnych substancji pod działaniem grawitacji Ziemi). Siła grawitacji F_g jest proporcjonalna do masy grawitacyjnej m_g ciała. F_g=G*(M*m_g)/r²  G - stała grawitacji  M - masa Ziemi  r - odległość ciała od środka Ziemi. Z drugiej zasady dynalmiki mamy  a=F_g/m_b=(G*M)/r²*m_g/m_b czyli, że przyspiesznie ciała zależy od stosunku masy bezwładnej i grawitacyjnej.

12. KONSEKWENCJE RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I GRAWITACYJNEJ

Doświadczenia wykazały równoważność masy grawitacyjnej i bezwładnej (co stało się punktem wyjścia ogólnej teorii względności Eisteina). Jeżeli masa grawitacyjna i bezwładna są tym samym to oznacza, że obserwator w zamkniętej kabinie żadnymi eksperymentami fizycznymi nie może ustalić czy ciężkość ciał w kabinie pochodzi od pola grawitacyjnego dużej masy czy też od siły bezwładności spowodowanej ruchem przyspieszonym kabiny. Fakt ten nazywamy lokalną równoważnością sił grawitacji i bezwładności. Dopiero badanie tych sił w dużym obszarze pozwoliłoby ustalić ich charakter poprzez określenie charakterystyki przestrzennej (różnej w przypadku pola grawitacyjnego i nieinercjalnego ukł. odniesienia). W układzie swobodnie spadającym znoszą się siły bezwładności i grawitacji. Ruch ciał spełnia I zasadę dynamiki à jest to układ inercjalny. Konsekwencją tego jest „spadek” promienia światła w polu grawitacyjnym. Ponieważ promień światła biegnie po najkrótszej drodze można mówić o zakrzywieniu przestrzeni w polu grawitacyjnym. Promieniowi świetlnemu (fotonowi) można przypisać masę m_f =h*n/c² . Jeśli tak to, gdy spada w polu grawitacyjnym zmienia się jego energia kinetyczna kosztem potencjalnej, a zarazem częstotliwość Dn/n = g*l/c². Taka też jest względna zmiana mierzonego czasu i można mówić o zakrzywieniu czasoprzestrzeni.

13. PROCESY ODWRACALNE I NIEODWRACALNE

Zjawiskami odwracalnymi (niezmienniczymi względem inwersji czasu) są oddziaływania między atomami, molekułami (mikroskopowe). W układach makroskopowych procesy nieodwracalne – wyznaczają kierunek biegu (strzałkę) czasu. Istotą nieodwracalności procesów jest przechodzenie układów do stanów o większym nieuporządkowaniu. Miarą nieuporządkowania jest liczba równoprawnych sposobów (stanów mikroskopowych) realizujących układ – stan makroskopowy układu. Na stan makroskopowy wpływa stan mikroskopowy, utożsamiany ze stanem kwantowym. Entropię definiujemy S=k*ln W ,gdzie k – stała Boltzmanna, W - liczba stanów kwantowych układu realizujących określony stan makro. W układzie odosobnionym procesy dąża do osiągnięcia stanu równowagi termodynamicznej – maksymalnej entropii.

14. ZASADA EKWIPARTYCJI ENERGII RUCHU CIEPLNEGO

Równanie stanu gazu doskonałego: pV=NkT=N/N_A*R*T=M/M_mol*R*T=nRT, V-objętość, n-liczba moli gazu, N-liczba molekuł, R=N_Ak, gdzie R to stała Rydberga (stała gazowa). Sformułowaniu tego równania towarzyszył rozwój kinetyczno-molekularnej teorii gazu doskonałego wg, której gaz jest zbiorem punktów materialnych-molekuł poruszających się chaotycznie, zderzających się między sobą i ściankami naczynia sprężyście. Ciśnienie gazu na ścianki jest wynikiem zmiany pędu dużej liczby molekuł odbijających się od ścianki : p=2/3N_i(mv²)/2=2/3NiEk (N_i-gęstość molekuł). Molekuły poruszają się z różnymi prędkościami ,dlatego v² trzeba zastąpić wartością średnią v²; E_k=3/2kT ,czyli aby podwyższyć o jeden stopień temperaturę jednego mola gazu doskonałego bez zmiany objętości to należy dostarczyć energię 3/2kN_A=3/2R (C_v=3/2R) i ta wielkość powinna być ciepłem molowym przy stałej objętości; warunek ten jest spełniony przez gazy jednoatomowe (dwuatomowe C_v=5/2R). Te spostrzeżenia to podstawy sformułowania zasady ekwipartycji energii. Traktowanie molekuł jako punktów materialnych jest możliwe tylko w przypadku molekuł jednoatomowych. Jej położenie określają trzy niezależne współrzędne i odpowiadają im trzy niezależne sposoby ruchu translacyjnego zwane stopniami swobody molekuły.  Z każdym z tych stopni związana jest energia ruchu cieplnego. Energia całkowita E=(i_t/2+i_r/2+i_osc)kT ,(i_t,i_r,i_osc-stopnie swobody ruchu translacyjnego, rotacyjnego i wibracyjnego). Ogólnie zasada ekwipartycji energii w ciele będącym w stanie równowagi termodynamicznej każdemu klasycznemu stopniowi swobody cząstki odpowiada energia średnio równa kT/2 ,T-temperatura ciała; stopień swobody nazywamy klasycznym jeżeli odpowiadający mu ruch podlega prawom mechaniki klasycznej.

15. DRGANIA SWOBODNE TŁUMIONE

Jeżeli pod działaniem siły zewnętrznej wychylenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły mówimy o występowaniu własnej siły sprężystej w układzie F=-kr. Ciało pod jej działaniem drga harmonicznie w₀=sqrt(k/M). Takie drgania są nazywane swobodnymi (własnymi) nietłumionymi. Uwzględniając tarcie T=-fv, gdzie f – współczynnik tarcia. Z II zasady dynamiki M*d²x/dt² = -kx – f*dx/dt; Różniczkowe równanie drgań tłumionych swobodnych  d²x/dt² + G*dx/dt + w₀²x = 0, gdzie G=f/M – stała tłumienia. Zależność położenia ciała x od czasu t:   x=A*e^-(G/2)*t sin(w₁*t+j), gdzie w₁= w₀²-(G/2)². A i j są stałymi brzegowymi. Dla dużego tłumienia mamy do czynienia z ruchem aperiodycznym – ciało powoli wraca do położenia równowagi. G/2 = w₀  to tłumienie krytyczne (bez drgań). Energia drgań E = 1/2k*A² = 1/2M*w₀²*A²;  E = E₀*e^-G/t ; E₀=k*A²/2= M*w₀²*A²/2, gdzie A – amplituda. Czas, w którym energia drgań zmaleje e razy nazywany jest średnim czasem życia, stałą czasową lub czasem relaksacji t=1/G . Względna szybkość strat energii stała dE/dt=E/t. Współczynnik dobroci Q=2P*(energia układu / energia tracona w 1 okresie) = 2P*E/(E*T/t) =w₁*t »w₀*t.

16. DRGANIA WYMUSZONE TŁUMIONE

Jeżeli w układzie drgającym działa zewnętrzna siła harmoniczna F₀*sin(wt) mamy d²x/dt² + G*dx/dt + w₀²x = F₀/M*sin(wt). W rozwiązaniu występuje składnik stacjonarny opisujący drgania harmoniczne wymuszone  x = x₀*sin(wt+j), przy czym  x₀ = F₀/M/ sqrt((w₀²-w²)²+G² *w²)  oraz  tgj = G*w/(w²-w₀²).  Amplituda drgań wymuszonych x₀ zależy od w według zależności rezonansowej. Przy częstotliwości rezonansowej  w_rez=sqrt(w₀²-G²/2)  amplituda drgań  x_rez=F₀/(M*w₀*G). Wtedy też praca i moc dostarczne do układu są największe. Średnia moc w jednym okresie drgań  P=1/T*ò {0,T} F*dx/dt*dt = F₀/T*w*x₀*ò {0,T} sin(wt)*cos(wt+j)*dt = ½ * F₀²/(M*G)*G²w²/((w₀²-w²)²+G² *w²). Gdy G << w₀  to P_rez»F₀²/(2M*G).  Energia drgań  E=1/2 *M*w² x₀² = ½ F₀²/(M*G²)*G²w²/((w₀²-w²)²+G² *w²). Gdy G << w₀  to  E_rez»F₀²/(2M*G²). Przy częstotliwościach bliskich rezonansu  (w₀+w) » 2w. Wtedy  G²w²/((w₀²-w²)²+G² *w²) » (G/2)²/((w₀-w)+ (G/2)²). Przedział częstotolwości kątowych, w którch moc i energia w układzie maleją do połowy wartości w rezonansie jest nazywany szerokością rezonansu  Dw = G.

17. REZONATORY

Układy drgające wykorzystywane do generacji drgań nazywa się rezonatorami. Najczęściej są nimi układy o stałych rozłożonych (w których każdy element reprezentuje sobą bezwładność, tarcie i sprężystość). Rezonator jest istotną częścią każdego generatora drgań. Ch-ka rezonatora jest rozumiana jako zależność stosunku reakcji rezonatora do pobudzenia w funkcji częstotliwości sygnału pobudzającego. Rzeczywiste ch-ki rezonatorów to krzywe rezonansowe Lorentza. Klasę generatora wyznacza względny błąd częstotliwości  Dw₀/w₀=G/w₀=1/(t w₀)=1/Q.

18. DRGANIA SPRZĘŻONE, DRGANIA NORMALNE

Rozważamy dwa identyczne układy drgające – wahadła sprzężone oddziaływaniem sprężystym. Częstotliwość drgań bez sprzężenia  w₀=sqrt(g/l),  W=sqrt(k/M) – częstotliwość drgań pod działaniem siły sprężystej elementu sprzęgającego.  Y₁, Y₂ – wychylenia mas z położenia równowagi. Równania ruchu  d²Y₁/dt² = -w₀²*Y₁ + W²*( Y₁ - Y₂),   d²Y₂/dt² = -w₀²*Y₂ + W²*( Y₂ - Y₁). Pierwsze wyrazy po prawej stronie równania są quasi-sprężystymi siłami (po podzieleniu przez M), drugie wyrazy są siłami sprężyny.  Równania nieuwikłane d²Y_I/dt² = -w₀²*Y_I , gdzie Y_I=Y₁+Y₂;  d²Y_II/dt² = -(w₀²+W²)*Y_II , gdzie Y_II=Y₂-Y₁;  rozwiązania Y_I = A_I*sin(w_It+j_I); Y_II = A_II*sin(w_IIt+j_II);  w_I = w₀; w_II = sqrt(w₀² + W²)  są drganiami prostymi, nazywanymi drganiami normalnymi. Drgania pojedynczych wahadeł równe Y₁ =(Y_I+Y_II)/2, Y₂ =(Y_I -Y_II)/2  są drganiami złożonymi z drgań prostych o różnych częstotliwościach. Jeżeli amplitudy A_I i A_II są równe drgania są dudnieniami. Ogólnie w przypadku sprzężenia N jednakowych elementów drgających drgania pojedynczego elementu są złożeniem N drgań o różnych częstotliwościach. Można wyróżnić N prostych drgań nazywanych normalnymi. Drganiom normalnym odpowiadają możliwe fale stojące w układzie.

19. RÓWNANIE FALI, RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI

Fala - przekazywanie zaburzeń z dowolnego miejsca w ośrodku sprężystym do sąsiednich obszarów niezaburzonych. Za kierunek rozchodzenia się fali i współrzędną położenia w ośrodku przyjęto oś X, wielkość wytrąceń cząstek z położenia równowagi oznaczono przez Y. Kształt fali w t=0 można określić pewną funkcją f(x). Fala przemieszcza się w ośrodkach z określoną prędkością v. W dowolnym momencie czasu równanie fali ma postać: Y =f(x-v*t). Równoważnym równaniem (opisującym tę samą falę) jest równanie: Y =g*[t-(x/v)], gdzie g jest odwróconą funkcją f. {RYSUNEK} Fale harmoniczne można zapisać równaniem Y=A*sin[(2*P/l)*(x-v*t)]=A*sin(k*x-w*t), gdzie k=(2*P/l) jest wektorem falowym (l - długość fali). Kierunek i zwrot wektora falowego odpowiada kierunkowi i zwrotowi rozchodzącej się fali. W układzie trójwymiarowym w miejscu kx byłoby kr, gdzie r jest wektorem położenia. Natomiast w=2Pv/l=2Pn=2P/T (n częstotliwość T okres fali), jest nazywana prędkością kątową fali lub częstotliwością kątową. v=w/k

RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI:

d²Y/dx²=1/v²*d²Y/dt² Dany związek opisuje dynamikę ruchu falowego i dlatego nazywany jest różniczkowym równaniem ruchu falowego. Rozważając przykład fali sprężystej podłużnej w pręcie możemy zapisać dwa równania. Pierwsze to II zasada dynamiki dla pewnego odcinka dx.  rSdx* d²Y/dt² = dF - wypadkowa siła działająca na odcinek dx pręta { RYSUNEK } Drugie równanie to wzór na rozciąganie dY odcinka o długości dx pod wpływem siły F:  dY/dx=F/(SE) gdzie E moduł Younga materiału. Przekształcając te równania otrzymujemy równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest fala: d²Y/dx²=r/E*d²Y/dt². Stała r/E jest odwrotnością kwadratu prędkości fali. Otrzymując równanie fali tego typu możemy powiedzieć, że mamy do czynienia z falą.  Można także wyprowadzić wzory: -prędkość fal poprzecznych w strunie v=sqrt(T/t) T siła naciągu, t masa jednostki długości; prędkość fal w gazie v=sqrt(kp/r) k=c_p/c_v współczynnik Poissona, p ciśnienie gazu. Przy wyprowadzaniu tych wzorów przyjmuje sił, że ośrodek jest jednorodny.

20. ENERGIA FALI

Z ruchem fali związany jest transport energii mimo, że nie ma transportu masy. Rozważmy wycinek Ds powierzchni czoła fali  w momencie czasu t, biegnącej w kierunku x. W ośrodku po lewej stronie czoła fali cząsteczki drgają. {RYSUNEK} Z ruchem tym związana jest energia drgań E _Ds. Jest to energia drgań przypadająca na jednostkę objętości ośrodka. Miarą ilości energii transportowanej przez falę jest natężenie I fali, które jest stosunkiem energii DE, przeniesionej przez powierzchnię Ds prostopadłą do kierunku biegu fali w czasie Dt do tej powierzchni i czasu. Jeżeli przez E_r oznaczymy gęstość energii to  I= E_rv ;  E_r= rw²A²/2  Więc natężenie fali  I=rvw²A²/2=Zu₀²/2,  gdzie Z – oporność falowa ośrodka, u₀ – amplituda prędkości drgań. Ważną wielkością charakteryzującą źródło fali jest jego moc M, czyli szybkość emisji energii w czasie. Natężenie fali w odległości r od źródła jest równe mocy tego źródła do powierzchni przez którą fala przechodzi. I=M/(r²*DW),  DW - kąt bryłowy. Gdy źródło fali jest punktowe lub kuliste i emituje falę izotropowo DW =4*P. W ośrodkach rzeczywistych energia fali w pewnym stopniu jest pochłaniana i zamieniana na ciepło. Ubytek natężenia fali przy przejściu drogi dx wyniesie dI=-a*I*dx, po przekształceniu I=I₀*exp(-a*x),  a - współczynnik pochłaniania fali w ośrodku wprost proporcjonalny do kwadratu częstotliwości i odwrotności gęstości ośrodka.

21. NAKŁADANIE SIĘ FAL

Jeżeli w ośrodku rozchodzą się dwie lub więcej fal to wypadkowe drgania cząstek ośrodka (a więc i fala wypadkowa) są sumą geometryczną składowych  fal. Zatem w ruchu falowym obowiązuje zasada superpozycji. Rozważając przypadek superpozycji dwu fal harmonicznych poruszających się w tym samym kierunku, o  wektorach falowych k i k+Dk niewiele się od siebie różniących oraz częstotliwościach w i w+Dw, to w wyniku złożenia tych fal otrzymujemy wypadkową falę Y=A*sin(k*x-w*t)+A*sin[(k+Dk)*x-(w+Dw)*t] = 2*A*cos((Dk/2)*x-(Dw/2)*t)*sin(k*x-w*t). Wypadkowa fala ma długość i częstotliwość taką samą co fale składowe, tylko amplituda jest zmienna. Obwiednia amplitudy ma sama charakter fali poruszającej się z prędkością Dw/Dk. Prędkość tę nazywamy grupową i wyrażamy ją wzorem v_g=dw/dk. Transport energii w fali złożonej jest związany z prędkością grupową  poruszania się jakby paczek falowych. Natomiast prędkość v=w/k nazywana prędkością fazową nie ma w przypadku fali złożonej istotnego znaczenia. {RYSUNEK} v_g=v-dv/dl*l  Wzór ten można uzyskać przekształcając wzór na prędkość grupową. Ośrodki w których prędkość fazowa jest długości fali nazywane są dyspersyjnymi.

 REKLAMA